دوست من فیزیک

با سلام

شما احتمالا یک تعریف از بُعد در ذهن دارید، مثلا می دانید یک خط یک بُعدی است(مثلا محیط دایره) و یک سطح(مثل مساحت یک دایره یا سطح یک کره)، دو بُعدی و یک فضا(مثلا کره یا مکعب) سه بُعدی است.

می توان این بُعد را به چند طریق تعریف کرد، که معمولا این تعاریف بعد یک جسم را به صورت یک عدد طبیعی مشخص می کند.

حال ما یک تعریف ابتدایی (و غیر دقیق) برای بعد این اجسام ارائه می کنیم

به عنوان مقدمه، ما برای کمّی کردن اجسام یک بعدی از طول ، برای دو بعدی از مساحت و برای سه بعدی از حجم استفاده می کنیم، من این کمیت را برای همه اجسام "جرم" می نامم.

حال ما داریم که در d بُعد، جرم متناسب است با اندازه جسم به توان بُعد جسم(d) ، یعنی اگر جسم را دو برابر بزرگ کنیم، جرم آن به اندازه دو به توان بُعد آن جسم زیاد می شود.

حال اگر جسم ما فرکتال باشد باز این تعریف کار می کند، (چون هر قسمت آن شبیه کل آن می باشد.) ولی دیگر لزوما این بُعد عددی صحیح نیست.

مثلا در مثلث سرپینسکی اگر اندازه آن را دو برابر بزرگ کنیم، جرم آن سه برابر می شود،(چون از سه تا از مثلثهای سرپینسکی با ابعاد نصف خودش تشکیل شده است.)

که بُعد آن برابر با ln(3)/ln(2) می شود (d=1.584963) به این بُعد ، بُعد فرکتالی می گویند.

این تعریف را می توان به این شکل دقیق کرد:

کره هایی با قطر(L) را نظر می گیریم (بُعد این کره ها باید مساوی یا بزرگتر از بعد غوطه وری جسم (فرکتال) باشد.) و کمترین تعداد از این کره ها که بتواند کل شکل را پوشش دهد، N(L) می نامیم.

این تعداد با L به توان منفی بُعد فرکتالی متناسب است.

حال می بینیم که با هر دو تعریف بُعد فرکتالی یکسان خواهد بود، و مثلا این مقدار برای دانه برف کُخ برابر (d=ln(4)/ln(3)= 1.26186) خواهد بود. (چه این فرکتال (دانه برف کخ) عادی باشد چه تصادفی)

(یک نکته: برای فرکتالها بُعد فرکتالی بزرگتر(مساوی) از بُعد هندسی (بُعدی که شکل از آن تشکیل یافته (در دانه برف کُخ چون از خط تشکیل شده این بُعد یک است) و کوچکتر(مساوی) از بُعد غوطه وری (بُعدی که فرکتال در آن قرار می گیرد (مثلا برای بلور کخ این بُعد دو است))

برای اینکه به فرکتال بودن جسمی در فیزیک پی ببریم معمولا به محاسبه بعد فرکتالی آن می پردازیم و به این نکته توجه می کنیم که آیا این رابطه توانی (N(L) بر حسب L و یا همان جرم بر حسب اندازه) با یک توان ثابت برقرار است.(که در این صورت می گوییم آن موجود فرکتال است)

این داستان ادامه دارد...