دوست من فیزیک

با سلام

من برای این دفعه یک آزمایش ساده را بیان می کنم، که در آن می توان بعد فرکتالی یک موجود فیزیکی(واقعی) را با آزمایش تعیین کرد.

مواد و وسایل مورد نیاز:

8 برگ کاغذ A4 (بهتر است این کاغذها بهتر است که "شق" باشند. (مثلا، مثل کاغذ صفحه روزنامه مخصوصا صفحه آگهی یا دستمال کاغذی احتمالا مناسب نیست.(شاید هم باشد!!)))

یک عدد خط کش

تذکّر:دلیل اینکه استفاده از کاغذهای سری A مناسب است این است که نصف آنها نیز از همین سری خواهد بود(نسبت طول به عرضش با کاغذ اصلی برابر است و برابر جذر دو می باشد.)که این خواصیت در کاغذهای سری B (یا کاغذهای دیگری که نسبت طول به عرضشان برابر جذر دو نیست.) وجود ندارد.

روش انجام آزمایش:

مرحله اول: 4 کاغذ از این 8 کاغذ را مچاله می کنیم، (کاملا تصادفی، یعنی از روشهای لوله کردن، پیچاندن و... می پرهیزیم.)و سعی می کنیم متقارن آنرا مچاله کنیم تا محصول نهایی نسبتا نزدیک به کره باشد.

حال قطر این گلوله های کاغذی را در سه جهت عمود بر هم برای هر کدام اندازه می گیریم.

از دوازده عدد بدست آمده میانگین گرفته و آنرا به عنوان قطر کاغذ مچاله اولیه ، منظور می کنیم.

خطای این قطر نیز با داشتن انحراف معیار میانگین و خطای خطکش بدست می آید.

مرحله دوّم: حال هر کدام از 4 کاغذ باقیمانده را ، با قرار دادن دو ضلع کوچک مستطیل بر روی هم و تا کردن آنها از وسط نصف می کنیم، تا کاغذهایی مشابه کاغذهای اولیّه با مساحت نصف آنها بدست آید، (A5 نصف A4 و(A(n+1 نصف An است.(از نظر مساحت))

حال 8 کاغذ داریم و دوباره به قسمت مرحله اوّل برگشته و این کارها را مجدّدا تکرار می کنیم.

این عملیات را 7_8 بار تکرار می کنیم

حال باید داده های بدست آمده را تحلیل کنیم.

در اینجا چیزی که در پست قبلی با نام جرم از آن یاد کردیم همان مساحت اولیه یا همان جرم است (ضریب تبدیل مساحت به جرم چون ثابت است مهم نیست.) حال می توانیم جرم کاغذ A4 را 1 فرض کنیم، به این ترتیب جرم کاغذ A5 ، 0.5 و جرم کاغذ A6 ، 0.25 و .... می شود.(البته می توان مثلا جرم کوچکترین کاغذ را 1 گذاشت و آنوقت کاغذهای بزرگتر به ترتیب جرم 2 ، 4 ، 8 ، 16 ، 32 و .... را خواهند داشت.)

حال با کشیدن نمودار تمام لگاریتمی جرم بر حسب قطر برای کاغذهای مچاله می توان بعد فرکتالی این موجود را حساب کرد. (اگر این نمودار خط نباشد یعنی این موجود فرکتال نیست.)

در چند دفعه ای که من آزمایش کرده ام همیشه r>0.999 بوده است، که این مقدار خط بودن را من در آزمایش دیگری به یاد ندارم!!!

البته می توانید دوباره این آزمایش را با این تفاوت که در این بار کاغذ را قبل از مچاله کردن خیس کنید، انجام داده و تغییر بعد فرکتالی بدست آمده را مشاهده کنید.

با سلام

شما احتمالا یک تعریف از بُعد در ذهن دارید، مثلا می دانید یک خط یک بُعدی است(مثلا محیط دایره) و یک سطح(مثل مساحت یک دایره یا سطح یک کره)، دو بُعدی و یک فضا(مثلا کره یا مکعب) سه بُعدی است.

می توان این بُعد را به چند طریق تعریف کرد، که معمولا این تعاریف بعد یک جسم را به صورت یک عدد طبیعی مشخص می کند.

حال ما یک تعریف ابتدایی (و غیر دقیق) برای بعد این اجسام ارائه می کنیم

به عنوان مقدمه، ما برای کمّی کردن اجسام یک بعدی از طول ، برای دو بعدی از مساحت و برای سه بعدی از حجم استفاده می کنیم، من این کمیت را برای همه اجسام "جرم" می نامم.

حال ما داریم که در d بُعد، جرم متناسب است با اندازه جسم به توان بُعد جسم(d) ، یعنی اگر جسم را دو برابر بزرگ کنیم، جرم آن به اندازه دو به توان بُعد آن جسم زیاد می شود.

حال اگر جسم ما فرکتال باشد باز این تعریف کار می کند، (چون هر قسمت آن شبیه کل آن می باشد.) ولی دیگر لزوما این بُعد عددی صحیح نیست.

مثلا در مثلث سرپینسکی اگر اندازه آن را دو برابر بزرگ کنیم، جرم آن سه برابر می شود،(چون از سه تا از مثلثهای سرپینسکی با ابعاد نصف خودش تشکیل شده است.)

که بُعد آن برابر با ln(3)/ln(2) می شود (d=1.584963) به این بُعد ، بُعد فرکتالی می گویند.

این تعریف را می توان به این شکل دقیق کرد:

کره هایی با قطر(L) را نظر می گیریم (بُعد این کره ها باید مساوی یا بزرگتر از بعد غوطه وری جسم (فرکتال) باشد.) و کمترین تعداد از این کره ها که بتواند کل شکل را پوشش دهد، N(L) می نامیم.

این تعداد با L به توان منفی بُعد فرکتالی متناسب است.

حال می بینیم که با هر دو تعریف بُعد فرکتالی یکسان خواهد بود، و مثلا این مقدار برای دانه برف کُخ برابر (d=ln(4)/ln(3)= 1.26186) خواهد بود. (چه این فرکتال (دانه برف کخ) عادی باشد چه تصادفی)

(یک نکته: برای فرکتالها بُعد فرکتالی بزرگتر(مساوی) از بُعد هندسی (بُعدی که شکل از آن تشکیل یافته (در دانه برف کُخ چون از خط تشکیل شده این بُعد یک است) و کوچکتر(مساوی) از بُعد غوطه وری (بُعدی که فرکتال در آن قرار می گیرد (مثلا برای بلور کخ این بُعد دو است))

برای اینکه به فرکتال بودن جسمی در فیزیک پی ببریم معمولا به محاسبه بعد فرکتالی آن می پردازیم و به این نکته توجه می کنیم که آیا این رابطه توانی (N(L) بر حسب L و یا همان جرم بر حسب اندازه) با یک توان ثابت برقرار است.(که در این صورت می گوییم آن موجود فرکتال است)

این داستان ادامه دارد...

باسلام

فرکتال به موجودی گفته می شود که اگر هر قسمت آنرا بزرگ بکنیم شبیه خودش بشود.

مثلا یک پاره خط را در نظر بگیرید

حال این پاره خط را به سه قسمت مساوی تقسیم کرده و قسمت وسط را پاک می کنیم

و حال دو پاره خط داریم، و عملیات فوق را برای هر کدام تکرار می کنیم،

و این کار را تا آخر ادامه می دهیم.

(چون من الان دارم از ذهن می نویسم، بعضی از اسمها را به خاطر ندارم، در ضمن این شکلها چون با دست کشیده شده شاید تمیز نباشد، خلاصه ببخشید.)

یا مثلا یک مثلث (تو پر) را در نظر بگیرید، حال با وصل کردن وسط ضلعها به هم این مثلث را به 4 مثلث مشابه تقسیم می کنیم، و سپس مثلث وسطی را پاک کرده و با سه مثلث باقیمانده همین کار را تا انتها ادامه می دهیم.

به این فرکتال "مثلث سرپینسکی" می گویند،

مثال دیگر این است که یک مثلث (بهتر است (زیباتر) در این مورد و مثلث سرپینسکی این مثلثها متساوی الاضلاع باشند.) را در نظر بگیرید، حال یک ضلع این مثلث (مثلا AB ) را به سه قسمت مساوی تقسیم کنید،

یک مثلث متشابه با مثلث اولیه، و سه برابر کوچکتر ایجاد کرده و با نیم دور دوران آنرا روی این ضلع قرار می دهیم به طوری که 'A'B بر قسمت وسط ضلع AB منطبق شود و در ضمن مثلث کوچک در خارج قرار گیرد، حال 'A'B و یک سوم وسط AB که بر هم منطبق هستند را پاک می کنیم، و این کار را با هر کدام از پاره خطها تکرار می کنیم، تا انتها

( اگر توضیح من گیج کننده است، شاید دیدن شکل، به فهمیدن آن کمک کند.)

به این فرکتال "دانه برف کخ" می گویند.

اینها فرکتالهای منظم هستند، ولی می توان مثلا در دانه برف کخ به جای اینکه همیشه عمل اضافه کردن مثلث (یا همان اضافه کردن دو پاره خط پس از حذف پاره خط میانی) را در جهت خارج انجام دهیم، به صورت تصادفی آنرا در جهت داخل یا خارج انجام دهیم.

به این نوع فرکتالها "فرکتالهای تصادفی" گفته می شود، که در فیزیک وقتی از فرکتال صحبت می کنیم، منظور ما همان فرکتالهای تصادفی می باشد.

(این داستان ادامه دارد)

با سلام این مطلب را نمی دانم باید دقیقا در کجا بنویسم ولی چون می شود ربطهایی بین آن و فیزیک (هر چند به زور) برقرار کرد آنرا در اینجا می نویسم. مضمون اطلاعیه چنین چیزی را می رساند که دانشجویان 82 ای با شرط زیر مشمول استفاده از قانون استعدادهای برای ورود به کارشناسی ارشد بدون آزمون می باشند (احتمالا درخواستشان رسیدگی می شود). 1) حداقل 100 واحد گذرانده باشند. 2) امتیازشان بر اساس فرمول زیر بیش از 270 باشد. امتیاز = (معدل)*10 + تعداد واحدهای گذرانده شده. به جز ایراداتی که من به این قانون و ... می توانم داشته باشم (دارم) ، چیزی که من را ناراحت می کند همین فرمول بالاست (یکی مثلا اینکه این ضریب 10 از کجا آمده است). من به جای این ضریب 10 بالا عدد m می گذارم و فرض می کنم که N تعداد واحدهای گذرانده با معدل a باشد که من (نوعی) کسب کرده ام (یا می کنم) و الان امتیازم (p) شده است ، من می توانم به این فکر کنم که اگر من اگر یک واحد بیشتر با نمره x می گذراندم در چه شزایطی این باعث افزایش امتیاز من می شد. p0=m*a0+N و در نتیجه اگر من یک واحد با نمره x بگذرانمp1=m*a1+N+1 می شود وa1=(x-a0)/(N+1) + a0 و بنابراین تغییر امتیاز از این رابطه بدست می آید: p1-p0 = m*(x-a0)/(N+1)+1 این بدین معنی است که اگر x بزرگتر از x0 باشد بهتر است این واحد گذرانده شود.(در صورت گذراندن از دید کمیته ای که این فرمول را در آورده با استعدادتر شناخته می شوید یا به عبارت راحتتر این قانون شما را تشویق به گرفتن آن می کند.) که این حد نمره از این رابطه در می آید: x0 = a0-(N+1)/m و با توجه به اینکه معدل از 20 کمتر است و تعداد واحدها بناست از 100 بزرگتر باشد ، اگر این ضریب m برابر با 10 باشد بنابراین این حد نمره از 10 کمتر می شود ولی چون شرط گذراندن واحد (افزایش تعداد واحدهای گذرانده) نمره 10 است پس این به این معناست که هر کس اگر هر درسی را که می تواند قبول شود بهتر است بگیرد!!!(چون برای آن تشویق در نظر گرفته اند!!!) حال تصور می کنم واضح شده باشد که چرا این موضوع ناراحت کننده است. من شخصا تصورم این است که آنها (تصمیم گیرندگان) حتی همین ضرب و تقسیم ساده را نیز انجام نداده اند. اگر این تصور درست باشد آنوقت باید گفت : وقتی در دانشگاه (به طور خاص این موجودات تصمیم گیرنده درباره استعدادهای درخشان!؟!؟!) تصمیمات، مبتنی بر بررسی (حتی ساده) نیست ، چه انتظاری می شود از جاهای دیگر داشت؟؟؟!!!!! من الان ناراحتم و شاید بداخلاق باشم، به دل نگیرید.

به نام حضرت دوست اگر نور به طور مستقیم می توانست از مرکز خورشید به سطح خورشید برسد، با توجه به اینکه Rs=670 هزار کیلومتر است و سرعت نور c=300 هزار کیلومتر در ثانیه است زمان 2.2 ثانیه طول می کشید ، ولی نور بعد از طی مسافتی (که به متوسط آن مسافت آزاد میانگین (mean free path) می گویند) با برخورد از جهت اولیه منحرف شده و در جهتی تصادفی و مستقل از جهت قبلی به حرکت خود ادامه می دهد. حال اگر در دفعه i ام جابجایی به اندازه ی بردار ri باشد فاصله از مرکز خورشید به صورت زیر است.

حال داریم که:

که اولی به خاطر این است که ri می تواند در هر جهتی باشد بنابراین متوسط آن فقط می تواند صفر باشد. و چون قدم i و j از هم مستقل است اگر i<>j پس متوسط ضرب بردار ri در بردار rj برابر است با ضرب متوسطهای آنها که صفر می باشد و اگر i=j در این موقع متوسط ضرب بردار ri در خودش برابر است با مسافت آزاد میانگین به توان دو. از این روابط نتیجه می گیریم که :

و

و نتیجه اینکه اگر بخواهیم نور به سطح خورشید برسد باید متوسط بردار r به توان دو با توان دوی شعاع خورشید برابر بشود پس:

که می بینیم به اندازه ی ضریب شعاع تقسیم بر مسافت آزاد میانگین از زمان حرکت مستقیم بزرگتر است. حال با جایگذاری l با 1mm (تا آنجا که به یاد دارم عدد همین بود که آنرا از کتاب فرانک شو خوانده بودم.) مقدار کل این زمان حدود پنجاه هزار سال می شود. به این نوع مسائل (مسئله ای با قدمهای تصادفی) ولگشت (random walk) می گویند (این نوعی که بیان شد ولگشت ساده است.)

به نام دوست

برای این بار می خواهم یک پدیده جالب را بیان کنم.

وسایل و مواد لازم برای مشاهده:

یک ظرف از آب تمیز (حدالامکان سطح آن زیاد باشد، می توانید از یک بشقاب یا یک سینی استفاده کنید.)

یک سطحی که روی آب شناور بماند.(مثلا یک تکه مقوای روغنی (A در شکل) )

یک چوب کبریت که نوک آن آغشته به مایع ظرف شویی باشد.

حال سطح A را روی سطح آب شناور کنید و بعد از آرام شدن آب ، نوک چوب کبریت (که به مایع ظرف شویی آغشته است) را در پشت سطح A ، یعنی در نقطه B به آب بزنید.

می بینید که چگونه مقوا به جلو می جهد؟! 

چند بار این کار را انجام دهید آیا در دفعه های بعد هم میزان جهش همان مقدار است؟

حال آب را عوض کرده و آب تمیز در ظرف بریزید ، اگر یک قطره روغن در آب بریزید روی آب مقداری پخش می شود و حال اگر  نوک چوب کبریت آغشته به مایع ظرف شویی را باز داخل آب کنید می بینید که قطره روغن جمع می شود.

اینها به خاطر کم شدن کشش سطحی آب بعد از آغشته شدن به مایع ظرف شویی است.

پس این فرار چربیها به واکنش چربی و مایع ظرف شویی ربط خاصّی ندارد!!!

این اثبات که ماکسول آنرا ارائه کرده بر این فرض استوار است که تابع توزیع ؛ بدست آوردن یک عدد در آزمایش همانند تابع توزیع زدن یک تیر به سیبل می باشد .

تابع توزیع یعنی احتمال یافتن یک عدد در یک محدوده تقسیم بر حجم آن محدوده ؛ وقتی ابعاد آن محدوده به سمت صفر میل کند.

                                                

حال احتمال برخورد تیر به جایی بین x,x+dx و y,y+dy مساوی است با

در اینجا از فرض مستقل بودن جهت x و y از هم و تقارن آنها استفاده شده است.( متوسط متغیرهای x و y صفر فرض شده ، برای حالت کلی در این متن به جای X ، X-<X>)) و به جای Y ، (Y-<Y>) جایگزین کنید ، که > ...> علامت مقدار متوسط است.)

حال ما دوباره این احتمال را در یک دستگاه دیگر که نسبت به این دستگاه آنقدر چرخیده است که مقدار x' در دستگاه جدید صفر است می نویسیم.

و از برابر قرار دادن این دو رابطه و حذف ds از دو طرف رابطه داریم:

حال اگر

           

نتیجه می گیریم که:

            

پس از نرمالیزه کردن (اینکه بالاخره x در یک جایی هست. ) داریم:

                    

و می توانیم به نتیجه دلخواه برسیم که :

اول دفتر به نام ایزد دانا         خالق و پروردگار حی توانا

من سعی می کنم در این وبلاگ مطالبی که برای خودم در فیزیک جالب است را بنویسم.

البته اگر این وبلاگ مثل قبلی من را از دور خارج نکند.

(سایت قبلی آنقدر مرا اذیت کرد که من نتوانستم آنرا به خوبی ادامه دهم. )